ЕГЭ 2026 · Задание 15

Преобразование логических выражений

Универсальные условия, числовые отрезки, множества и побитовая конъюнкция.

Повышенный уровеньЛогика30–40 мин✓ Полный урок
01

Что нужно понимать

Задача обычно просит подобрать параметр A так, чтобы логическое выражение было истинно для всех допустимых x. Ключ — найти, при каких x выражение могло бы стать ложным.

∀

Для всех x

Нужно исключить каждый контрпример, а не проверить несколько удобных значений.

→

Импликация

P→Q ложна только когда P истинно, а Q ложно.

&

Побитовое И

Условие вида x & A = 0 анализируется по двоичным разрядам.

Ключевая идея

Для отрезков удобно рисовать числовую прямую. Для побитовых условий — выписывать только значимые биты параметра.

02

Надёжный алгоритм решения

1

Найди структуру формулы

Отметь импликации, отрицания и принадлежность множествам.

2

Определи плохой случай

Когда выражение становится ложным?

3

Убери все контрпримеры

Подбери A так, чтобы плохой случай был невозможен.

4

Проверь границы

Особенно внимательно к <, ≤, >, ≥.

5

Если есть &

Перейди к двоичным разрядам и анализируй запрещённые единицы.

Типичная ошибка: Фраза «для любого x» означает бесконечное множество проверок. Перебор пары значений не является доказательством — нужна логическая характеристика всех контрпримеров.
03

Пошаговый разбор

Какова минимальная длина отрезка A, чтобы выражение (x∈[10,30]) → (x∈A) было истинно для любого x?

Когда импликация ложнаИсходные данные
x∈[10,30] и x∉A

Чтобы такого x не существовало, A должен содержать весь отрезок [10,30].

Минимальный AРезультат

Минимальный вариант — A=[10,30]. Его длина: 30−10=20.

РазборОткрывай шаги по очереди

Импликация ломается, если x попал в [10,30], но не попал в A.

Значит [10,30] должен быть подмножеством A.

Берём ровно [10,30], длина 20.

04

Тренажёр

Ответь на оба вопроса. Проверка работает прямо в браузере; правильные ответы автоматически отмечают практику выполненной.

Практика

Закрепи алгоритм

2 вопроса

Минимальная длина A, если (x∈[12,40]) → (x∈A) истинно для всех x?

Сколько x от 0 до 15 удовлетворяют x & 5 = 0?

05

Шпаргалка на экзамен

  1. Импликация ложна только при 1→0.
  2. Для «∀x» ищи все возможные контрпримеры.
  3. Отрезки удобно анализировать через включение множеств.
  4. В x & A нулевой результат запрещает единицы x в разрядах, где A имеет 1.
Урок 15 завершён

Продолжай по маршруту

Прогресс урока сохраняется локально в браузере.

Тематика урока сверена с актуальным каталогом ЕГЭ‑2026; примеры и тренажёры ТурбоУроки составлены самостоятельно. Каталог заданий ↗

ЕГЭ 2027 · Информатика

Задание 15: Преобразование логических выражений

Продолжайте подготовку по соседним заданиям или перейдите к полному каталогу экзамена.